悩んでいて解決できた問題のメモです。Atiyah-MacDonaldの「可換代数入門」の1章 演習問題14に対応する内容です。

証明

$(0) \in \Sigma$ から $\Sigma \neq \phi$ であり、$\Sigma$ は帰納的順序集合であるから、Zornの補題により $\Sigma$ は少なくとも1つの極大元をもつ。

$\mathfrak{m}$ を $\Sigma$ の極大元の1つとする。$x, y \notin \mathfrak{m}$ とすると、$\mathfrak{m} + (x)$ と $\mathfrak{m} + (y)$ は零因子でない元（＝非零因子）を含む。よって、$(\mathfrak{m} + (x))(\mathfrak{m} + (y)) \subseteq (\mathfrak{m} + (xy))$ も非零因子を含む。（$\mathfrak{m} + (x)$ と $\mathfrak{m} + (y)$ はそれぞれ少なくとも1つの非零因子を含んでおり、それら2つの非零因子の積もまた非零因子であるため。）

$\mathfrak{m} + (xy)$ が非零因子を含んでいることから、$xy \notin \mathfrak{m}$。よって、$\mathfrak{m}$ は素イデアル。

ここで、環 $A$ のすべての零因子の集合を $Z$ とする。このとき、任意の $x \in Z$ に対して $(x) \in \Sigma$ を考えることができ、$(x)$ を含む $\Sigma$ の極大元（素イデアル）が存在する。よって、零因子全体の集合は素イデアルの和集合に等しい。

証明の補足

・$(\mathfrak{m} + (x))(\mathfrak{m} + (y)) \subseteq (\mathfrak{m} + (xy))$ の部分の詳しい説明

$m_1, m_2 \in \mathfrak{m}, \ a, b \in A$とすると、$m_1 + ax \in \mathfrak{m} + (x), \ m_2 + by \in \mathfrak{m} + (y).$

$(m_1 + ax)(m_2 + by) = (m_1m_2 + m_1by + m_2ax) + abxy \in \mathfrak{m} + (xy).$

よって、$(\mathfrak{m} + (x))(\mathfrak{m} + (y)) \subseteq (\mathfrak{m} + (xy)).$

「ん？」となったポイント

$\Sigma$ が極大元をもち、それらが素イデアルということは納得できていたのですが、なぜそこから零因子の集合＝素イデアルの和集合がいえるの？と疑問に思っていました。

よく考えてみると、証明の最後の部分のように任意の零因子 $x$ からなるイデアル $(x)$ が $\Sigma$ の極大元に含まれる（あるいは $(x)$ 自身が極大元になる）ということに気づき、理解できました。

具体例で確認してみる

抽象論で議論していてもいまいち実感がわかないので、具体例を考えてみたいと思います。

環として $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を考えます。このとき、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の内部は以下のようになっています。

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の零因子の集合を $Z$ とすると、 \[ Z = \{0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\} \] です。（非自明な環では $0$ も零因子に含めて考えています。）

これは素イデアル $(2)$ と $(3)$ の和集合にちょうど一致していますね。

試しに $Z$ の中から元をとってみると、例えば $4$ をとったとき、$(4)$ はイデアルとして $(2)$ に含まれます。$2$ をとったとき、$(2)$ は極大イデアルになります。このように、零因子全体の集合から任意に元 $x$ をとったとき、$(x)$ は極大イデアルに含まれるか、それ自身が極大イデアルになることがわかります。